分数のわり算へ

分数のかけ算が終わってから、ここ数回は分数ってどういう数だったのか…などの確認してきました。計算演習を重ねると、どうしても計算方法だけが頭に残ってしまっていて、手元の数字を操作するということに意識がいってしまいがちに。改めて分数の意味を考えながら命題に向かうということには、再度準備が必要でした。

そして、いよいよ今日から分数のわり算です。

問題はいつもシンプルに。

“3dlのペンキを〇平方メートルの壁にまんべんなく塗ります。1平方メートルあたりに使うペンキの量は何dlですか”

最初は、2平方メートルの壁。
「簡単だよ!」とスラスラ進めているけれど、ここで立式をしながらかけ算の意味をしっかりと確認。

そして、壁の広さを分数に。

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「うーん…」
最初の問題のようにうまくいかないのはどうして?
「分数の部分が邪魔なんだよね…」
→最初の問題が簡単に解けたのはどうして?

…と、図を見比べ確認しながら考えます。どういう工夫をしたらいいかな??

「あ!こうだ!」

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「おー!すごい!」

ここまできたら、もうひと踏ん張り。わり算って何を求める計算なのかを、ホワイトボードの図に書き込みながら一緒に確認。見事ご名答!

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先日、発達障害の特集番組があった(→リンク)。この番組では、感覚過敏を映像に訴える研究が紹介されていて、今まで本を読んで知識として頭の中にあったことが、圧倒的に生々しい情報に変わった。途中、発達障害の話になると出てきがちなギフテッドを持ち出しての社会参加の可能性に触れるところもあったけれど、アナウンサーの人がやんわりと「そういう話じゃない」とコメントしていて好印象だった。1時間くらいという限られた時間の中でも濃い内容だったので、再放送やアーカイブで見ることができたら、ぜひとも見直したい。

発達障害自体については、このブログでも何度か話題にした(→「“発達障害”のこと」や、「タブレット端末は教室に必要か?」など)ことがあるので、改めて書くことはやめておこうと思う。

一つだけ。最近気になるのは、発達障害は戦後日本の家庭環境が生み出したものであり(例えば、子どもにDVDを見せることやスマホを使わせることが発達障害の原因だといったように)、日本古来の伝統的家庭教育を行えば改善されるといったような極めて感覚的で曖昧且つ非科学的な意見が珍しくなくなっていること。その中心的存在である“親学”と呼ばれているものが、どのような見解を主張しているのか、そして、それを推進している人たちはどういう人なのかは確認しておく必要があると思う。

もちろん、こういう意見と対照的に、当事者が困っていることに耳を傾け、科学的知見を積み重ねている人たちもいる。情報の選択には慎重に(安易にならず、真剣に)ならなければならないと思うし、誤った情報が当事者たちに与える影響も改めて確認しておきたい。

足し算は無限大??

小数の計算の最後に行ったのが、1/7+6/7=0.9999…???というお話でした(→放課後教室の一コマと映画『人間の壁』)。今回、分数のかけ算が一段落したので、お師さんから勧めてもらったお話をもう一つ。

「1+2+3+4+5+…って、ずっと続けていくとどうなるの?」
「そりゃ、ずっと大きくなるよ」
「ずっと大きくなる…。そういうこと、何ていう?」
「あ、無限に大きくなる」

では、足し算を続けていくということは、無限に大きくなるということなのか?と問題。一番大きくなったという数でも、そこに“1を足す”ということをしたら更に大きくなる、というのは小さい子と考えるときでも通用する話。

今回は、分数をテーマに。
「1/2+1/4+1/8+1/16+…、次は何が来ると思う?」
「1/36でしょ?簡単!」
「じゃぁ、こうやってずっと足し続けていくと、その答えはさっきみたいに無限に大きくなる?」
「そりゃ、なるよ!」

そこで、図を使って一緒に考えてみます。大きく書いた四角を1として…

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「まず、ここが1/2。そこに残りの部分から1/4を足す。余りで1/8を作って足す…」
「ん?あれ??」

次は?次は?と一緒にグルグル書いていきます。どんどんどんどん続いていくその先は頭でイメージできていたね!一緒にグラフを書きながら、“1”を超えることなく、限りなく“1”に近づいていく…という現象を「うーん…なんか不思議…」と一緒にボーっと眺めます。

「どうしてこうなる?」
「うーん…あ!半分!」
「半分?半分って、どういうこと?」
「1/2!」
「そう!」
どこまで足しても1/2にならない。すなわち、残りが無限に細分化されていく。

じゃぁ、1/2を超える数を足していくと、無限に大きくなるのかな??と、「1/2+1/3+1/4+1/5…」を一緒に考えてみました。

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普段何となく当たり前と思っていることが、身近なところで「こんなこともあるんだ!」と覆る発見に出会う瞬間。楽しい!

分数のかけ算へ

分数のかけ算に入りました。しばらく小数の計算をしていたので、分数の基本も復習しながら進めます。

“1ヘクタール当たり〇トンの麦が取れる畑があります。△ヘクタールでは、どれだけの麦が取れますか”といった、とてもシンプルな問題。

いつもの通り、まずは自分なりの方法で答えを導き出します。
「ヘクタールって、何だったっけ?」
「トンって、何キロだっけ?」

子どもからの質問だったり、ぶつぶつ呟いていることだったりから、今どんな考えが頭の中で巡っているのかな…と横で想像していかないと、子どもの思考の上でぼくも一緒に考えていくことができないので、この導入の時間が一番大変…。

図に書いてみると、求めるべき対象がはっきりするね。

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畑を、1のタイル、1/5のタイル、1/3のタイル、1/15のタイル…と分けて、見事に答えにたどり着いた!
「これ、どっちかというと足し算だね」

ここから、かけ算の考えに。同じ大きさのタイルでぴったり敷き詰めることはできるかな?
「基準になるタイルは…」
「そのタイルは縦にいくつ、横にいくつ敷き詰められているか」と、ここまでくればすんなり。分母同士をかけるというのは何をしているのか、そして分子同士をかけるというのは何をしているのか…図を見ながら確認。

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次の回の冒頭に、もう一度。
前回、一緒に考えていて、立てた式が“分数×分数”ということもあって“1あたり量”と“いくつ分”が混乱してしまい、図を見ながらも「あれ?これ、どっちだったっけ?」という場面が何度かあったので、自分の板書を見直しました。で、改善した板書でもう一度。

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計算の練習に入れば、単純に分母同士、分子同士をかけるという作業に入って、問題自体はどんどん解けるようになるのだろう。けど、コーラルでは上記のような段階を最も大事にしています。

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小学生の頃は子どものモチベーションをいかに高めることができるかというのが大人側の大きな課題の一つ。そして、対象に得意意識を持つことが“次の段階”への大きな後押しになることは、あらゆる場面において、ほとんどの子どもに共通することだと思う。そんな時期に、計算ができることが算数という分野に対する得意意識に繋がり、その意識を土台にしながら学生生活を送ることも珍しくないように思える。

ぼくがフリースクールに関わるようになった15年くらい前には、“100ます計算”が大流行していた。これといって新しい要素も感じられなかったので、何で今更と不思議な感じもしたけど。ただ、上記のような理由から、子どもが算数に対して得意意識を持つようなるきっかけになる可能性という一点においては、まぁいいのかなと思っていた。(ぼくは使わなかったけど)

しかし、教室で時間を競って一心不乱に100ますを書き殴って埋めていく子どもの姿をテレビで見た時に、「やっぱり、いいの?これ?」と、大きな疑問になってしまった。“100ます計算”という教材を用いた学習の“次の段階”が、ただ計算のスピードに過ぎないということに唖然としたし、何よりも子どもが書き殴っている姿が物を考える時間とはかけ離れているとしか思えなかった。目の前に提示されたことに対して、ただただ“反射的に”応えていくという頭の働かせ方を定着させてしまっていいのかなと、大きな懸念を抱かざるを得なかった。

ちなみに、ああいう“100ます計算”みたいなものは、大人の側からするとものすごく楽な教材。まず、大人は教える必要がない(採点するだけで勤務時間が過ぎる)ということ、“スピード”というわかりやすい具体的な目標を設定できること、解いた紙が残るので子どもも大人も「勉強したね」という実感があること、そして、一時的に計算問題は解けるようになって、とりあえず丸をもらえること、などなど“使い易い”ことには違いない。(ぼくにとっては退屈。使わなかった理由の一つ)

ただ、こういう即席の満足感を得てしまうがゆえの弊害というのを改めて考え直す必要があると思う。この満足感というのは、子どもにとってもそうだし、大人にとってもそう。断言できるのは、こういう方法で対応できる学習内容というのは、想像している以上に早く限界が来るということ。それも“反射的な応え方”という副作用だけ残して。そして、この限界を超えることを阻む最大の障壁は、一時的に満足感を得た方法を成功体験として追行してしまうことかもしれないなと。

フリースクール業界には、こういう学習を批判している人はたくさんいる。ぼくも違和感を感じている点は同じなのだけど、ともすると「学校で行うような勉強を行わないことが自由教育だ」とすら言い出しかねない人にも出会うことも珍しくない。そういう中において、ぼくはドリルのような反復学習をやらせる方だと思う。そこが学習目標ではないということは明白だけど、「宿題、多い!」と言われてもやるべき段階では課題にします。次へのステップとするために。

ブログでの授業報告は、基本的に単元の導入部分になっているけれど、そこがコーラルが最重要視しているところです。

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「算数は計算だけじゃないんだよ!」とはコーラルに来ている子のセリフ。大事なことを共有できていると実感できた瞬間。